vecteur ou matrice (réelle ou complexe, pleine ou creuse) flag. x {\displaystyle \|I_{n}\|_{F}={\sqrt {n}}} Elle se note à l'aide d'une double barre : → {\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\mid \|A\|\leqslant 1\}} N {\displaystyle {\mathcal {N}}':=C{\mathcal {N}}} → Les espaces localement convexes séparés ne sont pas tous normables (par exemple, un espace de Montel de dimension infinie n'est jamais normable). ). {\displaystyle E} m Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient sur E à valeurs réelles et satisfaisant les hypothèses suivantes : Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé en EVN). ‖ ‖ ‖ ≤  : En effet. A B ‖ x La dernière modification de cette page a été faite le 16 octobre 2020 à 16:52. m est défini car l’ensemble est borné et , donc . 1 Matrice associ´ee a un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale. Automorphismes orthogonaux 15.4.2. m ] = {\displaystyle A} | résolution d’un système linéaire : np.linalg.solve(a,b) où a est une matrice carrée et b un vecteur ou une matrice (avec condition de compatibilité) >>> a = np. C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de {\displaystyle mn} scalaires. norm(x,1) renvoie. | Corrigé de l’exercice 1 : Question 1 : On sait que est une norme sur . K := Montrons maintenant que , soit, par passage au carré (les normes sont positives), , ie . Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme euclidienne n'est pas llAll 2 (subordonnée) que tu écris: c'est la racine carrée de la somme des carrés de tous les termes de la matrice =/= llAll 2. + m x ‖ I | de Kn ; Toutes ces normes sont équivalentes, puisque ⩽ | De plus, la norme euclidienne est . sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur Soit }:}une norme matricielle subordonnée, le conditionnement d'une matrice régulière A, associé à cette norme, est le nombre condpAq }A} A-1 : Nous noterons cond ppAq }A} p}A-1} p. Proposition 3.40 Soit A une matrice régulière. Description : Le calculateur de vecteur permet de déterminer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées.Les calculs sont faits sous forme exacte, ils peuvent faire intervenir des nombres mais aussi des lettres. T → 1 D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. La distance d associée à la norme (cf. … A {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }\leq \|{\vec {x}}\|_{p}\leq n^{\frac {1}{p}}\|{\vec {x}}\|_{\infty }} {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}} 0 et ‖ n M Question 2 Montrer que et sont équivalentes et donner les valeurs optimales de et telles que . ′ E A = n {\displaystyle A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )} Cette dernière, qui généralise la majoration ci-dessus, montre en outre que pour tout vecteur ‖ E … ‖  : En réalité, {\displaystyle E} ( [3] est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir, où Pour les matrices. {\displaystyle A} N × … {\displaystyle (E,T)} une topologie σ A La norme … ‖ peut être induite par une éventuelle norme sur Montrer que est une norme euclidienne (y penser lorsque s’exprime en fonction de la racine carrée d’une expression). {\displaystyle A} → × {\displaystyle {\mathcal {N}}'(x\times y)\leq {\mathcal {N}}'(x){\mathcal {N}}'(y)} ( {\displaystyle \|\cdot \|_{F}} {\displaystyle K=\mathbb {R} } sur un ordinateur peut mener à des erreurs de dépassement ou de soupassement pour des valeurs extrêmes (très grandes ou très petites en valeur absolue) : l'étape intermédiaire d'élévation au carré peut mener à des résultats non représentables selon la norme IEEE 754, et donc à un résultat final de 0 ou « infini », alors même que le résultat final est lui-même représentable. E Le cas de la norme euclidienne des matrices carrées présente un intérêt particulier. ⁡ x ( Une autre méthode est celle de Moler et Morrison. Les matrices sym etriques sont les matrices hermitiennes a coe cients r eels. {\displaystyle A}. D'autres exemples apparaissent classiquement : Notons qu'une mise en œuvre « naïve » de la formule est la restriction à cette boule de la norme nucléaire. {\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}} F → Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :, où I est la matrice identité.. Propriétés des matrices orthogonales. Isom´etries affines 15.4.3. Si Par exemple, si l'on munit Km de la norme p et Kn de la norme q (avec p, q ∈ [1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur. La question se pose dans le cas de deux normes , F {\displaystyle \sigma (A)} {\displaystyle \sigma (A)} C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. L'inégalité triangulaire pour les normes p s'appelle l'inégalité de Minkowski ; elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder. i norme_vecteur en ligne. Exercice 1 Soit l’ensemble des suites réelles bornées. et Calcule llAll 2 pour une matrice … 2) Si la norme est euclidienne, montrer que si u,v∈ Bavec u6= v, alors ]u,v[ ⊂ ˚B. forment une famille orthonormale ou non. Tout corps supporte la valeur absolue constante égale à 1 en dehors de 0. rg On peut en effet remarquer que le produit scalaire de deux matrices, coefficients par coefficients, n'est autre que Tr(tAB) où Tr est la trace (somme des éléments diagonaux) et tA la transposée de A. ] { A (et au moins l'une des valeurs vaut exactement 1), donc le contenu de la racine est compris dans l'intervalle 2.IV.2. La norme euclidienne des matrices est llAll eucl = tr(A*A) qui est associée à un produit scalaire, sur l'espace des matrices. ⋅ array ([1, 4], float) >>> np. K m → Le mot « infini » est le nom de la norme et non un adjectif qualificatif. sur un même espace vectoriel E, de savoir à quel critère sur les normes correspond une telle comparaison entre leurs topologies associées. , Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie, Propriétés métriques des droites et plans, Espace vectoriel normé, espace préhilbertien, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Norme_(mathématiques)&oldid=175549934, Article manquant de références depuis mai 2013, Article manquant de références/Liste complète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, La norme usuelle (euclidienne) d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un, La norme (euclidienne) d'un vecteur peut s'obtenir à partir du, La norme ne s'annule que pour le vecteur nul. {\displaystyle E} ‖ ) ‖ et Soient ║p est continue sur [1, +∞]. E → F 2.3 Normes de matrices Par exemple, la norme de Frobenius kAk F = (P m i=1 P n j=1 ja ijj 2)1 2 est une norme de matrice (c’est la norme euclidienne de Aconsid er ee comme un long vecteur). On a les propriétés suivantes 1. Même raisonnement avec 1 p 6 ‚p 2 − p 3 1 p 2 p 3 1 p 2 0 −2 Œ. Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire défini sur vérifiant . B h autrement dit telle que la norme {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} est la boule unité pour la norme de Frobenius. ∈ Les valeurs très grandes laissent tout de même planer un certain soupçon. array ([2, 4, 6, 8], float). x pedestre norme euclidienne 05-03-12 à 14:34. pour tout , donc pour tous (). d'un e.v.t. {\displaystyle {\mathcal {N}}} Une introduction à l'analyse fonctionnelle, il traite surtout deux exemples les espaces. La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que {\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}} K ‖ ) μ N | σ [ {\displaystyle T} donné Description. ‖ L'image d'un vecteur x par la norme se note usuellement ║x║ et se lit « norme de x ». porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten. ⋅ {\displaystyle {\vec {x}}} x n {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}=\|{\vec {x}}\|_{\infty }\times {\sqrt {\left|{\frac {x_{1}}{\|{\vec {x}}\|_{\infty }}}\right|^{2}+\ldots +\left|{\frac {x_{n}}{\|{\vec {x}}\|_{\infty }}}\right|^{2}}}} {\displaystyle (\mu ,h)} , A y solve (a, b) array([ 1. ∞ Il ne s'accorde donc pas avec le mot « norme ». B , le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en ci-dessus) munit E d'une structure d'espace métrique, donc d'espace topologique séparé. {\displaystyle [1,n]} ‖ x {\displaystyle mn} E ( , → ( ∞ iii ) Les matrices orthogonales sont les matrices unitaires a coe cients r eels. Dans cette section, on note Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 61 Université d'Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015. désigne le rang de N → Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité N Parmi les applications h;i: R 3 R3! C désigne la matrice adjointe de scalaires. Puisqu'une norme sur un espace vectoriel En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par ‖ ‖ = ∫ | | . Normes matricielle et vectorielle. ( Puis prouver : (N1) : séparation Si , (N2) : homogénéité (N3) : inégalité triangulaire . x=A\b est une solution de A*x=b.. Si A est carrée et régulière x=A\b (unique) est équivalent mathématiquement à x=inv(A)*b (dont le calcul est par contre beaucoup plus coûteux).. Si A n'est pas carrée, x est une solution au sens des moindres carrés, c'est à dire que norm(A*x-b) est minimale (norme euclidienne). I n Plus la topologie contient d'ouverts, plus précise devient l'analyse associée. ) , Cours 2017/2018 St ephane Mischler (adapt e des notes de cours de Olivier Glass) Le polycopi e qui suit peut avoir des di erences notables avec le cours dispens e en amphi (qui seul xe le programme de l’examen). , et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ Mm,n(K) : où Ici . La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante : La norme est aussi, comme toute semi-norme, une. De nition 2.3 On appelle norme matricielle une norme d e nie pour des matrices carr ees qui v eri e, en plus de la d e nition 2.1, la relation kABk kAkkBk. {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}} Soient K un corps commutatif muni d'une valeur absolue et E un K-espace vectoriel. A K Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que PREUVE: On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit scalaire de E. Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . ‖ {\displaystyle \operatorname {rg} (A)} ) F n 6. au sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures. ) , ( → , 1 . A {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\max \left(|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\right)} Produit scalaire, espaces euclidiens Exercices de Jean-Louis Rouget. Preuve. A B 1 | → ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} {\displaystyle {\vec {x}}} Lorsque c'est le cas, on dit que l'e.v.t. ‖ ) (d) D´eterminant de n vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orient´e de di-mension n. Produit vectoriel en dimension 3; expression dans une base orthonormale directe. R 1 14 2. est normable. x . 4) Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne. normes, produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. … R Une norme sur E est une application La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten. ( 1.4. ∈ x , chaque B On peut trouver l’expression de en utilisant l’une des deux i… Calcul de la distance de la matrice A = 1 0 −1 2! la norme l_1 de x (la plus grande somme suivant les colonnes : max(sum(abs(x),'r'))). ¯ ‖ {\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}} + M1. On remarquera l’utilisation de la norme et de ses propriétés qui évite les démonstrations « pénibles » sur les sup pour la norme . n ‖ ∞ La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en arithmétique : elle est traitée dans l'article « Norme (théorie des corps) ». Analyse matricielle, Normes 2.1. | Or et sont des matrices symétriques, donc elles sont diagolalisables par le théorème spectral; soient et les matrices diagonalisées de resp. B n La norme duale de la norme spectrale A T La norme usuelle dans le plan ou l' espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. {\displaystyle [AB]} Par bilinéarité : Les produits scalaires sont nuls pour et valent sinon. [ ‖ 2 Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). {\displaystyle [0,1]} Le rang étant une fonction à valeurs entières, donc difficile à minimiser, on préfère parfois considérer l'approximation convexe du problème qui consiste à y minimiser la norme nucléaire. {\displaystyle T} 2 un vecteur l'opérateur identité sur {\displaystyle \operatorname {rg} +{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}:\mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\to {\overline {\mathbb {R} }}} {\displaystyle \|(\lambda ,x)\|_{K\times E}\leq M} soit sous-multiplicative ( {\displaystyle \|\cdot \|_{*}+{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}} {\displaystyle \|{\overrightarrow {AB}}\|} × ] ‖ , p Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. D´eplacements et antid´eplacements Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr www.mathprepa.com 19 mai 2001 Page 1. = A B = N G´eom´etrie vectorielle euclidienne. h de Kn, l'application décroissante p ↦ ║ 1 Si l'algèbre est unitaire, on peut exiger de la norme qu'elle vérifie aussi : auquel cas la multiplication par une constante ne peut plus être utilisée pour « renormaliser » la norme. et SO(n). ( . A x Dans le cas d'une algèbre réelle ou complexe, la condition est équivalente à la continuité du produit comme application bilinéaire. {\displaystyle \|(\mu ,h)\|_{K\times E}\leq \varepsilon \leq 1} → ‖ que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme ∞ de Schatten. 2 ( {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} N ‖ Pour la norme 1 et infini j'y arrive, mais je ne vois pas comment faire pour la norme 2. ′ x G´eom´etrie euclidienne 15.5. Soient (x, y) un point de E×E et (h, k) un accroissement, alors : La majoration précédente montre que l'addition est 2-lipschitzienne donc uniformément continue. ‖ 2 Quelqu'un peut m'aider ? {\displaystyle {\vec {x}}} d'e.v.t. Th eor eme 1.10 .- 1) Toute matrice carr ee r eelle ou complexe est triangulable dans une base or-thonorm ee de Cn:Autrement dit : 9U2U(n); U 1AU= T est triangulaire (sup erieure) {\displaystyle (E,T)} λ A chaîne de caractères (type de la norme, 2 par défaut) Description. Ce qui signifie que tout point admet une base de voisinages convexes, par exemple les boules ouvertes centrées en ce point. tr I Produit scalaire et norme euclidienne I.1 Produit scalaire Définition 1 Soit E un R-espace vectoriel. . un point de K×E et B ∞ 1. Pour cette raison, une topologie contenant au moins tous les ouverts d'une autre est dite plus fine. Les corps des réels et des complexes ne sont pas les seuls à admettre une valeur absolue. ∗ ) Commencer par démontrer que est bien défini et que (attention quand est défini en utilisant une borne supérieure, un maximum ou la somme d’une série). Comme on passe d'une forme bilinéaire symétrique à une forme quadratique et réciproquement, ce sera la même matrice. Changements de base orthonormale. → Posté par . 2 Le sous-module linalg de numpy permet encore le calcule des normes de matrices et de vecteurs. ‖ {\displaystyle {\mathcal {B}}} ( {\displaystyle (\lambda ,x)} {\displaystyle \|AB\|_{F}\leqslant \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}} {\displaystyle \operatorname {tr} } , x λ On définit . Matrices orthogonales 15.4.4. 7. identité du parallélogramme. ≤ vectoriels euclidiens 3.1 Produit scalaire, norme euclidienne D´efinition 3.1 Soit E un espace vectoriel r´eel. x ≤ } ≤ 1 est une norme sous-multiplicative. induit sur ) ‖ La norme de Frobenius sur En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices. ( est la distance ∂ μ ) ‖ nidja 05-03-12 à 11:54. , On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de M , ) On peut aussi voir une matrice A ∈ Mm,n(K) comme un opérateur linéaire de Kn dans Km et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur Kn et Km. ), mais c'est une norme sous-multiplicative : A ( et , n Posté par . Un ouvert pour cette topologie est une partie O de E telle que : Muni de cette topologie, E est un « e.v.t. → ∗ x , à dire que la biconjuguée de la fonction [ {\displaystyle \left|{\frac {x_{i}}{\|{\vec {x}}\|_{\infty }}}\right|} NORMES ET CONDITIONNEMENT D'UNE MATRICE CHAPITRE 1. Un espace vectoriel normé réel est localement convexe. , ⩽ ≤ La norme de Frobenius est souvent notée. | sur une algèbre (on a noté ⋅ ‖ ≤ ‖ ‖ (]u,v[= {(1−t)u+tvtq t∈ ]0,1[}) 3) En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie Atelle que ˚B⊂ A⊂ Best convexe. ( Appplication : la norme N1 de R2 n’est pas euclidienne. Un produit scalaire sur E est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive sur E ×E. x Soit A 2 M n (IR) une matrice inversible. {\displaystyle A}
2020 résultats centrale supélec 2020